逻辑回归
引言
逻辑回归[Logistic Regression]多用于解决分类问题，二分类多分类均可。
我们将多分类看做很多个二分类即可。
定义目标函数
在上一节，我们最后提到：通过引入
因此我们可以考虑让
现在，我们有
我们知道
观察sigmoid函数的定义域以及值域，我们发现它呈这个现状
因此我们可以令
定义损失函数
损失函数要求其定义必须用数学语言表达你的目标。
我们的目标是使预测尽可能准确，即class 1要尽可能接近1，class 2要尽可能接近0。
可以知道，对于所有的
因此对于class 1,我们可以认为
对于class 2,我们可以认为
根据最大似然估计我们可以得到
$L(w,b)=P(x1)P(x_2)…*P(x{n-1})*P(x_n)$
我们想令准确率最高，即求
因为求最大值无疑是困难的，因此我们转化为求最小值
使用合适的算法求解
自然，上述式子可以容易的使用gradient descent求解。
不再赘述。
算法优化[源于ML-NLP/2.Logistics Regression.md at master · NLP-LOVE/ML-NLP (github.com)]
1 一阶方法
梯度下降、随机梯度下降、mini 随机梯度下降降法。随机梯度下降不但速度上比原始梯度下降要快，局部最优化问题时可以一定程度上抑制局部最优解的发生。
2 二阶方法：牛顿法、拟牛顿法：
这里详细说一下牛顿法的基本原理和牛顿法的应用方式。牛顿法其实就是通过切线与x轴的交点不断更新切线的位置，直到达到曲线与x轴的交点得到方程解。在实际应用中我们因为常常要求解凸优化问题，也就是要求解函数一阶导数为0的位置，而牛顿法恰好可以给这种问题提供解决方法。实际应用中牛顿法首先选择一个点作为起始点，并进行一次二阶泰勒展开得到导数为0的点进行一个更新，直到达到要求，这时牛顿法也就成了二阶求解问题，比一阶方法更快。我们常常看到的x通常为一个多维向量，这也就引出了Hessian矩阵的概念（就是x的二阶导数矩阵）。
缺点：牛顿法是定长迭代，没有步长因子，所以不能保证函数值稳定的下降，严重时甚至会失败。还有就是牛顿法要求函数一定是二阶可导的。而且计算Hessian矩阵的逆复杂度很大。
拟牛顿法： 不用二阶偏导而是构造出Hessian矩阵的近似正定对称矩阵的方法称为拟牛顿法。拟牛顿法的思路就是用一个特别的表达形式来模拟Hessian矩阵或者是他的逆使得表达式满足拟牛顿条件。主要有DFP法（逼近Hession的逆）、BFGS（直接逼近Hession矩阵）、 L-BFGS（可以减少BFGS所需的存储空间）。
格外要点[源于ML-NLP/2.Logistics Regression.md at master · NLP-LOVE/ML-NLP (github.com)]
逻辑回归为什么要对特征进行离散化。
- 非线性！非线性！非线性！逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合； 离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；
- 速度快！速度快！速度快！稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；
- 鲁棒性！鲁棒性！鲁棒性！离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰；
- 方便交叉与特征组合：离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力；
- 稳定性：特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问；
- 简化模型：特征离散化以后，起到了简化了逻辑回归模型的作用，降低了模型过拟合的风险。
逻辑回归的目标函数中增大L1正则化会是什么结果。
所有的参数w都会变成0。
快晴
スーパーヒーローになってみたい